Τι είναι το «π»

Ανάμεσα στους άπειρους αριθμούς που συναντάμε, υπάρχουν κάποιοι που έχουν λίγο μεγαλύτερη σημασία. Αριθμοί που δεν είναι απλώς σύμβολα με ποσοτική σημασία, αλλά έχουν βαθύτερο νόημα. Σε αυτό το σύνολο των σημαντικών αριθμών, το «π» είναι ο… βασιλιάς.

Σχεδόν όλος ο κόσμος γνωρίζει τον αριθμό «π», όμως οι ιδιότητες αυτού του πολύ σημαντικού συμβόλου δεν είναι αντίστοιχα διαδεδομένες. Τι κρύβει μέσα του αυτό το πασίγνωστο 3,14 και γιατί διαφέρει τόσο πολύ από τους… κοινούς αριθμούς;

Ανακαλύπτοντας τα «μυστικά» του κύκλου – Η περίεργη αναλογία του μήκους και της διαμέτρου

Η ανάγκη του ανθρώπου να μετρήσει το μήκος ενός κύκλου γεννήθηκε πολλές χιλιετίες πριν. Το πιο γνωστό σχήμα, ανάμεσα σε όλα τα γεωμετρικά κατασκευάσματα, είχε όμως κάποιες περίεργες ιδιότητες. Τυλίγοντας ένα σκοινί γύρω από ένα κυκλικό σχήμα, μπορούσε κανείς να υπολογίζει το μήκος του. Ανάμεσα στην διάμετρο του κύκλου και στο μήκος του υπήρχε μια σταθερή σχέση, η οποία όμως δυσκόλευε τους γεωμέτρες για πολλούς αιώνες.

Ανεξάρτητα από το μέγεθος του κύκλου, οι μαθηματικοί είχαν ανακαλύψει πως η περίμετρος του ήταν περίπου 3 φορές μεγαλύτερη της διαμέτρου του. Στα μαθηματικά όμως δεν υπάρχει η έννοια του «περίπου». Για πάρα πολύ καιρό οι επιστήμονες προσπαθούσαν να υπολογίσουν με ακρίβεια την σταθερά που έκρυβε τα… μυστικά του κύκλου. Δεν ήταν όμως καθόλου εύκολο να την βρουν.

Από την αρχαία Αίγυπτο μέχρι και τον Αρχιμήδη – Η πορεία προς τον υπολογισμό του «π»

Βαβυλώνιοι, Αιγύπτιοι, Ελληνες, Αραβες και αρκετοί άλλοι αρχαίοι λαοί είχαν συντονίσει τις προσπάθειες τους ώστε να βρουν το πολυπόθητο «π». Οι πρώτες δοκιμές εμφανίστηκαν στην Αίγυπτο, πριν από σχεδόν πέντε χιλιετίες. Ανάμεσα στις αναλογίες της Μεγάλης Πυραμίδας της Γκίζας, η οποία κατασκευάστηκε το 2589–2566 π.Χ, εμφανίζεται για πρώτη φορά ο αριθμός «π». Η περίμετρος της πυραμίδας ήταν περίπου 6,28 φορές μεγαλύτερο από το ύψος της. Ο αριθμός αυτός αντιστοιχεί στο διπλάσιο του «π» και είναι σχεδόν σίγουρο πως για το εντυπωσιακό κτίσμα των Αιγυπτίων είχαν γίνει μελέτες, έτσι ώστε να τηρεί τις αναλογίες ενός κύκλου.

Οι πρώτες γραπτές αποδείξεις, ή καλύτερα προσεγγίσεις, για την σταθερά του κύκλου ήρθαν αρκετά χρόνια αργότερα. Οι Βαβυλώνιοι ήταν αυτοί που προσπάθησαν πρώτοι να δώσουν ένα αυστηρό μαθηματικό μοντέλο. Σε ένα δίσκο που χρονολογείται γύρω στο 1700 π.Χ. υπάρχει το κλάσμα 25/8 που ισούται με 3,125 και θεωρείται η πρώτη κοντινή προσέγγιση. Λίγα χρόνια αργότερα, οι Αιγύπτιοι «βελτίωσαν» την σταθερά, με το κλάσμα (16/9)^2 που αντιστοιχεί περίπου στον αριθμό 3.1605.

Για αρκετούς αιώνες οι επιστήμονες στηρίζονταν εμπειρικά δεδομένα για να προσεγγίσουν το «π». Ο πρώτος που επιχείρησε να υπολογίζει το μήκος ενός κύκλου χρησιμοποιώντας αυστηρή μαθηματική θεωρία ήταν ο Αρχιμήδης. Ο σπουδαίος αυτός μαθηματικός δεν είναι… δίκαιο να θεωρείται «εφευρέτης του π» όμως είναι σίγουρα ο πρώτος άνθρωπος που προσέγγισε σε μεγάλο βαθμό την γνωστότερη σταθερά του πλανήτη. Χρησιμοποιώντας κανονικά πολύγωνα που «αγκάλιαζαν» ένα κύκλο κατάφερε να βρει πως το «π» ισούται με περίπου 3,1416.

Εχει βρεθεί τελικά ο αριθμός «π»; – Ποιοι και γιατί συνεχίζουν τις προσεγγίσεις

Ακόμα και σήμερα, μπορούμε να πούμε πως ο αριθμός «π» δεν έχει βρεθεί. Μπορεί βέβαια, μέσω νέων τεχνικών, να έχουν υπολογιστεί πολλά εκατομμύρια από τα δεκαδικά ψηφία του, όμως το «π» είναι ένας υπερβατικός αριθμός. Πιο απλά, το «π» δεν θα μπορέσει ποτέ να γραφτεί ως ένας συγκεκριμένος αριθμός, διότι τα ψηφία του δεν τελειώνουν ποτέ. Αυτή είναι και η μαγεία της συγκεκριμένης σταθεράς. Ενα νούμερο που αφορά το πιο γνωστό σχήμα στον κόσμο, που μπορεί να συνδέει δύο απόλυτα φυσιολογικά χαρακτηριστικά όπως το μήκος και η διάμετρος, δεν μπορεί να υπολογιστεί με ακρίβεια. Πάντα αφήνει ένα ελάχιστο περιθώριο σφάλματος.

Φυσικά αυτό το σφάλμα είναι αμελητέο, αφού πλέον έχουν γίνει «βαθιές» προσεγγίσεις που είναι υπεραρκετές για κάθε ιδιότητα που θέλει να μελετήσει κανείς. Μέσα στις χιλιετίες, εκατοντάδες μαθηματικοί έχουν δώσει τις δικές τους αποδείξεις γύρω από τον «αγαπημένο» τους αριθμό, χρησιμοποιώντας όλο και πιο σύγχρονες μεθόδους. Εδω και αρκετά χρόνια ωστόσο είναι γνωστό πως όσο και να προσπαθήσει κανείς, ποτέ δεν πρόκειται να βρεθεί ο κατάλληλος αριθμός για το «π».

Οι όποιοι υπολογισμοί συνεχίζουν να πραγματοποιούνται, δεν έχουν καθαρά μαθηματική σημασία. Πλέον το «π» χρησιμοποιείται κυρίως για να τεστάρει τις προσεγγιστικές δυνατότητες των αλγορίθμων. Οι μαθηματικοί έχουν σταματήσει να ασχολούνται με την σταθερά που δεν πρόκειται ποτέ να υπολογίσουν. Από την άλλη, οι προγραμματιστές συνεχίζουν την προσπάθεια που έχει ξεκινήσει εδώ και χιλιάδες χρόνια, μόνο που έχουν διαφορετικό στόχο. Η ακριβέστερη προσέγγιση του «π» γίνεται πλέον για χάρη της πληροφορικής και όχι των μαθηματικών, αφού είναι ένα από τα καλύτερα κριτήρια για την ισχύ ενός αλγορίθμου.